µ(AM') = 2k
+
+ m = (2k+1)
+ m
Seno e cosseno
Dada uma circunferência trigonométrica contendo o ponto A=(1,0) e um número real x, existe sempre um arco orientado AM sobre esta circunferência, cuja medida algébrica corresponde a x radianos.
Seno: No plano cartesiano, consideremos uma circunferência trigonométrica, de centro em (0,0) e raio unitário. Seja M=(x',y') um ponto desta circunferência, localizado no primeiro quadrante, este ponto determina um arco AM que corresponde ao ângulo central a. A projeção ortogonal do ponto M sobre o eixo OX determina um ponto C=(x',0) e a projeção ortogonal do ponto M sobre o eixo OY determina outro ponto B=(0,y').
A medida do segmento OB coincide com a ordenada y' do ponto M e é definida como o seno do arco AM que corresponde ao ângulo a, denotado por sen(AM) ou sen(a).
Como temos várias determinações para o mesmo ângulo, escreveremos
sen(AM)=sen(a)=sen(a+2k
)=y'
Para simplificar os enunciados e definições seguintes, escreveremos sen(x) para denotar o seno do arco de medida x radianos.
Cosseno: O cosseno do arco AM correspondente ao ângulo a, denotado por cos(AM) ou cos(a), é a medida do segmento 0C, que coincide com a abscissa x' do ponto M.
Como antes, existem várias determinações para este ângulo, razão pela qual, escrevemos
cos(AM) = cos(a) = cos(a+2k
) = x'
Tangente
Seja a reta t tangente à circunferência trigonométrica no ponto A=(1,0). Tal reta é perpendicular ao eixo OX. A reta que passa pelo ponto M e pelo centro da circunferência intersecta a reta tangente t no ponto T=(1,t'). A ordenada deste ponto T, é definida como a tangente do arco AM correspondente ao ângulo a.
Assim a tangente do ângulo a é dada pelas suas várias determinações:
tan(AM) = tan(a) = tan(a+k
) = µ(AT) = t'
Podemos escrever M=(cos(a),sen(a)) e T=(1,tan(a)), para cada ângulo a do primeiro quadrante. O seno, o cosseno e a tangente de ângulos do primeiro quadrante são todos positivos.
Um caso particular importante é quando o ponto M está sobre o eixo horizontal OX. Neste caso:
cos(0)=1, sen(0)=0 e tan(0)=0
Ampliaremos estas noções para ângulos nos outros quadrantes
Ângulos no segundo quadrante
Se na circunferência trigonométrica, tomamos o ponto M no segundo quadrante, então o ângulo a entre o eixo OX e o segmento OM pertence ao intervalo
/2<a<
. Do mesmo modo que no primeiro quadrante, o cosseno está relacionado com a abscissa do ponto M e o seno com a ordenada deste ponto. Como o ponto M=(x,y) possui abscissa negativa e ordenada positiva, o sinal do seno do ângulo a no segundo quadrante é positivo, o cosseno do ângulo a é negativo e a tangente do ângulo a é negativa.
Outro caso particular importante é quando o ponto M está sobre o eixo vertical OY e neste caso:
cos(
/2)=0 e sen(
/2)=1
A tangente não está definida, pois a reta OM não intercepta a reta t, pois elas são paralelas.
Ângulos no terceiro quadrante
O ponto M=(x,y) está localizado no terceiro quadrante, o que significa que o ângulo pertence ao intervalo:
<a<3
/2. Este ponto M=(x,y) é simétrico ao ponto M'=(-x,-y) do primeiro quadrante, em relação à origem do sistema, indicando que tanto a sua abscissa como a sua ordenada são negativos. O seno e o cosseno de um ângulo no terceiro quadrante são negativos e a tangente é positiva.
Em particular, se a=
radianos, temos que
cos(
)=-1, sen(
)=0 e tan(
)=0
Ângulos no quarto quadrante
O ponto M está no quarto quadrante, 3
/2<a< 2
. O seno de ângulos no quarto quadrante é negativo, o cosseno é positivo e a tangente é negativa.
Quando o ângulo mede 3
/2, a tangente não está definida pois a reta OP não intercepta a reta t, estas são paralelas. Quando a=3
/2, temos:
cos(3
/2)=0, sin(3
/2)=-1
Simetria em relação ao eixo OX
Em uma circunferência trigonométrica, se M é um ponto no primeiro quadrante e M' o simétrico de M em relação ao eixo OX, estes pontos M e M' possuem a mesma abscissa e as ordenadas possuem sinais opostos.
Sejam A=(1,0) um ponto da circunferência, a o ângulo correspondente ao arco AM e b o ângulo correspondente ao arco AM', obtemos:
sen(a) = -sen(b)
cos(a) = cos(b)
tan(a) = -tan(b)
Simetria em relação ao eixo OY
Seja M um ponto da circunferência trigonométrica localizado no primeiro quadrante, e seja M' simétrico a M em relação ao eixo OY, estes pontos M e M' possuem a mesma ordenada e as abscissa são simétricas.
Sejam A=(1,0) um ponto da circunferência, a o ângulo correspondente ao arco AM e b o ângulo correspondente ao arco AM'. Desse modo:
sen(a) = sen(b)
cos(a) = -cos(b)
tan(a) = -tan(b)
Simetria em relação à origem
Seja M um ponto da circunferência trigonométrica localizado no primeiro quadrante, e seja M' simétrico de M em relação a origem, estes pontos M e M' possuem ordenadas e abscissas simétricas.
Sejam A=(1,0) um ponto da circunferência, a o ângulo correspondente ao arco AM e b o ângulo correspondente ao arco AM'. Desse modo:
sen(a) = -sen(b)
cos(a) = -cos(b)
tan(a) = tan(b)
Senos e cossenos de alguns ângulos notáveis
Uma maneira de obter o valor do seno e cosseno de alguns ângulos que aparecem com muita frequência em exercícios e aplicações, sem necessidade de memorização, é através de simples observação no círculo trigonométrico.
Primeira relação fundamental
Uma identidade fundamental na trigonometria, que realiza um papel muito importante em todas as áreas da Matemática e também das aplicações é:
sin²(a) + cos²(a) = 1
que é verdadeira para todo ângulo a.
Necessitaremos do conceito de distância entre dois pontos no plano cartesiano, que nada mais é do que a relação de Pitágoras. Sejam dois pontos, A=(x',y') e B=(x",y").
Definimos a distância entre A e B, denotando-a por d(A,B), como:
Se M é um ponto da circunferência trigonométrica, cujas coordenadas são indicadas por (cos(a),sen(a)) e a distância deste ponto até a origem (0,0) é igual a 1. Utilizando a fórmula da distância, aplicada a estes pontos, d(M,0)=[(cos(a)-0)²+(sen(a)-0)²]
1/2, de onde segue que 1=cos²(a)+sin²(a).
Segunda relação fundamental
Outra relação fundamental na trigonometria, muitas vezes tomada como a definição da função tangente, é dada por:
Deve ficar claro, que este quociente somente fará sentido quando o denominador não se anular.
Se a=0, a=
ou a=2
, temos que sen(a)=0, implicando que tan(a)=0, mas se a=
/2 ou a=3
/2, segue que cos(a)=0 e a divisão acima não tem sentido, assim a relação tan(a)=sen(a)/cos(a) não é verdadeira para estes últimos valores de a.
Para a
0, a
, a
2
, a
/2 e a
3
/2, considere novamente a circunferência trigonométrica na figura seguinte.
Os triângulos OMN e OTA são semelhantes, logo:
Como AT=|tan(a)|, MN=|sen(a)|, OA=1 e ON=|cos(a)|, para todo ângulo a, 0
<a
<2
com a
/2 e a
3
/2 temos
Forma polar dos números complexos
Um número complexo não nulo z=x+yi, pode ser representado pela sua forma polar:
z = r [cos(c) + i sen(c)]
onde r=|z|=R[x²+y²], i²=-1 e c é o argumento (ângulo formado entre o segmento Oz e o eixo OX) do número complexo z.
A multiplicação de dois números complexos na forma polar:
A = |A| [cos(a)+isen(a)]
B = |B| [cos(b)+isen(b)]
é dada pela Fórmula de De Moivre:
AB = |A||B| [cos(a+b)+isen(a+b)]
Isto é, para multiplicar dois números complexos em suas formas trigonométricas, devemos multiplicar os seus módulos e somar os seus argumentos.
Se os números complexos A e B são unitários então |A|=1 e |B|=1, e nesse caso
A = cos(a) + i sen(a)
B = cos(b) + i sen(b)
Multiplicando A e B, obtemos
AB = cos(a+b) + i sen(a+b)
Existe uma importantíssima relação matemática, atribuída a Euler (lê-se "óiler"), garantindo que para todo número complexo z e também para todo número real z:
eiz = cos(z) + i sen(z)
Tal relação, normalmente é demonstrada em um curso de Cálculo Diferencial, e, ela permite uma outra forma para representar números complexos unitários A e B, como:
A = eia = cos(a) + i sen(a)
B = eib = cos(b) + i sen(b)
onde a é o argumento de A e b é o argumento de B. Assim,
ei(a+b) = cos(a+b)+isen(a+b)
Por outro lado
ei(a+b) = eia . eib = [cos(a)+isen(a)] [cos(b)+isen(b)]
e desse modo
ei(a+b) = cos(a)cos(b) - sen(a)sen(b)
+ i [cos(a)sen(b) + cos(b)sen(a)]
Para que dois números complexos sejam iguais, suas partes reais e imaginárias devem ser iguais, logo
cos(a+b) = cos(a)cos(b) - sen(a)sen(b)
sen(a+b) = cos(a)sen(b) + cos(b)sen(a)
Para a diferença de arcos, substituímos b por -b nas fórmulas da soma
cos(a+(-b)) = cos(a)cos(-b) - sen(a)sen(-b)
sen(a+(-b)) = cos(a)sen(-b) + cos(-b)sen(a)
para obter
cos(a-b) = cos(a)cos(b) + sen(a)sen(b)
sen(a-b) = cos(b)sen(a) - cos(a)sen(b)
Seno, cosseno e tangente da soma e da diferença
Na circunferência trigonométrica, sejam os ângulos a e b com 0
£a
£2
e 0
£b
£2
, a>b, então;
sen(a+b) = sen(a)cos(b) + cos(a)sen(b)
cos(a+b) = cos(a)cos(b) - sen(a)sen(b)
Dividindo a expressão de cima pela de baixo, obtemos:
| tan(a+b)= | sen(a)cos(b)+cos(a)sen(b)
cos(a)cos(b)-sen(a)sen(b) |
|---|
Dividindo todos os quatro termos da fração por cos(a)cos(b), segue a fórmula:
| tan(a+b)= | tan(a)+tan(b)
1-tan(a)tan(b) |
|---|
Como
podemos dividir a expressão de cima pela de baixo, para obter:
| tan(a-b)= | tan(a)-tan(b)
1+tan(a)tan(b)
Resolução de triângulos Os elementos fundamentais de um triângulo são os seus lados, os seus ângulos e a sua área, resolver um triângulo, segnifica conhecer as medidas destes elementos. Conhecendo-se três entre estes elementos podemos usar as relações métricas ou as relações trigonométricas dependendo do caso, para calcular os outros elementos. Estas relações estão expostas na sequência.
Lei dos Senos Seja um triângulo qualquer, como o que aparece na figura ao lado, com lados a, b e c, que são os lados opostos aos ângulos A, B e C, respectivamente. O quociente entre a medida de cada lado e o seno do ângulo oposto a este lado é uma constante igual a 2R, em que R é o raio da circunferência circunscrita ao triângulo, isto é:
a
sen(A) | = | b
sen(B) | = | c
sen(C) | =2R |
|---|
Demonstração: Para simplificar as notações iremos denotar o ângulo correspondente a cada vértice pelo nome do vértice, por exemplo para o triângulo de vértices ABC os ângulos serão A, B e C respectivamente, assim quando escrevermos sen(A) estaremos nos referindo ao seno do ângulo correspondente ao vértice A.
Seja ABC um triângulo qualquer, inscrito numa circunferência de raio R. Tomando como base do triângulo o lado BC, construimos um novo triângulo BCA', de tal modo que o segmento BA' seja um diâmetro da circunferência. Este novo triângulo é retângulo em C.
Temos três casos a considerar, dependendo se o triângulo ABC é acutângulo, obtusângulo ou retângulo.
- Triângulo acutângulo: Os ângulos correspondentes aos vértices A e A' são congruentes, pois são ângulos inscritos à circunferência que correspondem a um mesmo arco BC. Então:
isto é,
Repetindo o mesmo processo para as bases AC e AB, encontraremos os outros quocientes
- Triângulo obtusângulo: Se A e A' são os ângulos que correspondem aos vértices A e A', a relação entre eles é dada por A'=-A, pois são ângulos inscritos à circunferência correspondentes a arcos replementares BAC e BA'C. Então
| sen(-A)= | a
2R | = | sen(-A) |
|---|
isto é,
Repetindo o mesmo processo para as bases AC e AB, encontraremos os outros quocientes
- Triângulo retângulo: Como o triângulo ABC é um triângulo retângulo, é imediato que
| sen(B)= | b
a | , | sen(C)= | c
a | e | sen(A)=sen(/2)=1 |
|---|
Como, neste caso a=2R, temos,
a
sen(A) | = | b
sen(B) | = | c
sen(C) |
|---|
Lei dos Cossenos Em um triângulo qualquer, o quadrado da medida de um lado é igual a diferença entre a soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados e o dobro do produto das medidas desses lados pelo cosseno do ângulo formado por estes lados.
a² = b² + c² - 2bc cos(A)
b² = a² + c² - 2ac cos(B)
c² = a² + b² - 2ab cos(C)
Demonstração: Temos três casos a considerar, dependendo se o triângulo ABC é acutângulo, obtusângulo ou retângulo.
- Triângulo retângulo: Se o triângulo ABC é retângulo, com ângulo reto no vértice A. A relação
a² = b² + c² - 2bc cos(A) recai no teorema de Pitágoras.
a² = b² + c² uma vez que cos(A)=cos(/2)=0.
- Triângulo acutângulo: Seja o triângulo ABC um triângulo acutângulo com ângulo agudo correspondente ao vértice A, como mostra a figura.
Seja o segmento de reta HC perpendicular ao lado AB (altura do triângulo relativa ao lado AB), passando pelo vértice C. Aplicando o Torema de Pitágoras no triângulo CHB, temos:
a² = h²+(c-x)² = h²+(c²-2cx+x²) =
=(h²+x²)+c²-2cx (Eq.1) No triângulo AHC, temos que b²=h²+x² e também cos(A)=x/b, ou seja, x = b cos(A)
Substituindo estes resultados na equação (Eq. 1), obtemos:
a²=b² + c² - 2bc cosA
- Triângulo obtusângulo: Seja o triângulo obtusângulo ABC com o ângulo obtuso correspondente ao vértice A, como mostra a figura.
Seja o segmento de reta HC perpendicular ao lado AB (altura do triângulo relativa ao lado AB), passando pelo vértice C. Aplicando o Torema de Pitágoras no triângulo CHB, temos que:
a² = h²+(c+x)² = h²+(c²+2cx+x²) =
=(h²+x²)+c²+2cx (Eq.2) No triângulo AHC, temos que b²=h²+x² e também:
cos(D)=x/b=cos( -A)=-cos(A), então, x = -b cos(A)
a² = b² + c² - 2bc cos(A)
As expressões da lei dos cossenos podem ser escritas na forma
Nos exercícios seguintes, dado um triângulo qualquer ABC, denotaremos, por a, b e c, os lados opostos aos vértices A, B e C, respectivamente. Os ângulos receberão o mesmo nome que seus respectivos vértices.
 Seja o triângulo ABC, mostrado na figura, onde a=20, b=10 e B=30. Calcular o raio do círculo circunscrito e o ângulo C.
 Dois pontos A e B estão em margens opostas de um rio e C é um ponto na mesma margem que A localizado a 275m de distância de A. Os ângulos conhecidos são, CAB=125º50' e ACB=48º50'. Qual é a distância entre A e B?
 Um navio navega para Leste quando uma luz é observada no rumo N 62º10'L. Depois que o navio percorre 2250m, a luz está no rumo N48º25'L. Se o curso do navio for mantido qual será a maior aproximação que o navio terá da luz?
- Resolver o triângulo ABC dados c=0,5, b=0,8 e C=70º.
- Dados a=7,6; b=4,8 e c=7,1, determinar a medida do ângulo B:
 Três circunferências com raios medindo 115cm, 150cm e 225cm, são traçadas de forma que cada uma delas é tangente exterior às outras duas, como na figura ao lado. Calcular as medidas dos ângulos internos do triângulo formado pelos centros dessas circunferências.
- Com base nas circunferências do exercício anterior, calcule a área do triângulo determinado por seus centros.
 Os lados adjacentes de um paralelogramo medem 1388m e 2526m e o ângulo formado entre estes lados mede 54,42º. Determinar o comprimento da maior diagonal desse quadrilátero.
-
| cos(A)= | b²+c²-a²
2bc | ,cos(B)= | a²+c²-b²
2ac | ,cos(C)= | a²+b²-c²
2ab |
|---|
Área de um triângulo em função dos lados Existe uma fórmula que permite calcular a área de um triângulo conhecendo-se as medidas de seus lados. Se a, b e c são as medidas dos lados do triângulo, p a metade do perímetro do triângulo, isto é: 2p=a+b+c, então,
S = R[p(p-a)(p-b)(p-c)] onde R[z] é a nossa notação para a raiz quadrada de z>0.
A demonstração está em nosso link Fórmula de Heron.
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Em uma pista de atletismo circular com quatro raias, a medida do raio da circunferência até o meio da primeira raia (onde o atleta corre) é 100 metros e a distância entre cada raia é de 2 metros. Se todos os atletas corressem até completar uma volta inteira, quantos metros cada um dos atletas correria?
Qual é a medida do ângulo que o ponteiro das horas de um relógio descreve em um minuto? Calcule o ângulo em graus e em radianos.
Em uma circunferência de raio r, calcular a medida do arco subtendido pelo ângulo A em cada caso:
Em uma circunferência de centro O e raio r, calcule a medida do ângulo AÔB subtendido pelo arco AB nos seguintes casos.